1. Multiplicação de potências de mesma base

No produto de potências de mesma base devemos conservar a base e somar os expoentes.

$a^{\mathrm{m}}.a^{\mathrm{n}}=a^{\mathrm{m+n}}$

2. Divisão de potências de mesma base

Na divisão de potências de mesma base conservamos a base e subtraímos os expoentes.

$\frac{a^{\mathrm{m}}}{a^{\mathrm{n}}}=a^{\mathrm{m\; -\; n}}$

3. Potência de Potência

Quando a base de uma potência também é uma potência devemos multiplicar os expoentes.

$\left(a^{\mathrm{m}}\right){}^{\mathrm{n}}=a^{\mathrm{m\; .\; n}}$

4. Potência de Produto

Quando a base de uma potência é um produto elevamos cada fator à potência.

$\left({\mathrm{a\; .\; b}}^{\mathrm{}}\right){}^{\mathrm{m}}=a^{\mathrm{m}}.b^{\mathrm{m}}$

5. Potência de Quociente

Quando a base de uma potência é uma divisão elevamos cada fator ao expoente.

$\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right){}^{\mathrm{m}}=\frac{a^{\mathrm{m}}}{b^{\mathrm{m}}}$

Exemplo

$\left(\frac{3}{4}\right){}^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}$

6. Potência de quociente e expoente negativo

Quando a base de uma potência é uma divisão e o expoente é negativo inverte-se a base e o sinal do expoente.

$\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right){}^{\mathrm{-m}}=\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right){}^{\mathrm{m}}$

Exemplo

$\left(\frac{3}{4}\right){}^{-2}=\left(\frac{4}{3}\right){}^2$

7. Potência de expoente negativo

Quando o sinal de uma potência for negativo devemos inverter a base para tornar o expoente positivo.

$a^{\mathrm{-m}}=\frac{1}{a^{\mathrm{m}}}\mathrm{,\; a}\ne 0$

Exemplo

$\frac{\left(}{3}{}^{-2}=\left(\frac{1}{3}\right){}^2=\left(\frac{1}{9}\right)$

8. Potência com expoente racional

A radiciação é a operação inversa da potenciação. Portanto, podemos transformar um expoente fracionário em um radical.

$a^{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}}=\sqrt[\mathrm{n}]{a{}^{\mathrm{m}}}$

Exemplo

$$ 3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$

9. Potência com expoente igual a 0

Quando uma potência apresenta expoente igual a 0, o resultado será 1.

$a^0=1$

10. Potência com expoente igual a 1

Quando uma potência apresenta expoente igual a 1, o resultado será a própria base.

$a^1=\mathrm{a}$

11. Potência de base negativa e expoente ímpar

Se uma potência tem base negativa e o expoente é um número ímpar, então, o resultado é um número negativo.

${\mathrm{-3}}^3=-3.-3.-3=-27$

12. Potência de base negativa e expoente par

Se uma potência tem base negativa e o expoente é um número par, então, o resultado é um número positivo.

${\mathrm{-3}}^2=-3.-3=9$

Simplifique

$$\frac{{\mathrm{30}}^{50}}{{\mathrm{60}}^{25}}=?$$

Solução #1

$$\frac{{\mathrm{30}}^{50}}{{\mathrm{60}}^{25}}==\frac{{\mathrm{(6\; .\; 5)}}^{50}}{{\mathrm{(12\; .\; 5)}}^{25}}=\frac{{\mathrm{(2\; .\; 3\; .\; 5)}}^{50}}{{\mathrm{(4\; .\; 3\; .\; 5)}}^{25}}=\frac{2^{50}}{\left(2^2\right){}^{25}}.\frac{3^{50}}{3^{25}}.\frac{5^{50}}{5^{25}}=\frac{2^{50}}{2^{50}}.\frac{3^{50}}{3^{25}}.\frac{5^{50}}{5^{25}}=3^{\mathrm{(50-25)}}.5^{\mathrm{(50-25)}}==3^{25}.5^{25}={\mathrm{15}}^{25}$$

Simplifique

$$2^{22}.3^{33}$$

Solução #1

$$2^{22}.3^{33}=\left(2^2\right){}^{11}.\left(3^3\right){}^{11}=4^{11}.{\mathrm{27}}^{11}=(4.27){}^{11}={\mathrm{108}}^{11}$$

Resolver

$$\left(\frac{9}{4}\right){}^{\frac{9}{4}}=\left(\frac{3{}^2}{2{}^2}\right){}^{\frac{9}{4}}=\left(\frac{3}{2}\right){}^2{}^{\frac{9}{4}}=\left(\frac{3}{2}\right){}^{\frac{9}{2}}=\left(\frac{3}{2}\right){}^{\frac{\mathrm{4\; +\; 5}}{2}}$$

Solução #1